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ロト6について調べてみた1(当せん等数・口数の分布)



ロト6は手軽に参加できるギャンブルである。宝くじと同様に販売実績に対する還元率は50%以下であり、かつ、当せんする確率は非常に小さいが、人気は高い。

ロト6のルールでは、購入者が1~43の数字の中から6つを事前に選んで申し込む(申込数字)。現在は、週2回のペースで夢ロトくんと呼ばれる抽選マシーンにより抽選が行われ、当せん数字(本数字6つ+ボーナス数字1つ)が選ばれる。申込数字と抽選数字が一致すれば、その個数に応じて等数(当せん金額)が決まる。これらの本数字やボーナス数字は機械によりランダムに選ばれるため、選ばれた数字の統計的な性質を調べると面白いと思われる。

そこで、本記事ではロト6の次の項目に関して調べてみた。

◎パート1:当せん等数や当せん口数の分布
・販売総数の推移
・当せん等数の分布
・実際の当せん口数の分布と理論的に予想される当せん口数の分布の比較
・実際の当せん確率と理論当せん確率等の比較
・ロト6の購入者が選びやすい数字はあるのか?

◎パート2:本数字等の出現確率
・本数字とボーナス数字の出現確率
・本数字の各数字が枠ごとに出現する確率
・本数字の各数字が最小値・最大値になる確率
・本数字に含まれる偶数と奇数の個数の頻度
・直近のN回で選ばれた本数字のうち再出現する個数がM個である確率
・ちょうどN回前の抽選で選ばれた本数字のうち再出現する個数がM個である確率
・本数字の合計値の出現確率
・本数字内の数字同士の差の最小値・最大値がある数Nとなる確率

◎パート3:長期の購入シミュレーション等
・長期に渡るロト6購入シミュレーション
・ロト6で儲ける方法
・付録:確率とは何か
・参考文献

なお、本記事で言及している「実際の」当せん数字・本数字とは、実際の抽選結果(第1回~第588回)を指している。

また、図がブログの横にはみ出している場合には、図をクリックすると図全体が表示される。


■販売総額の推移



本記事執筆時点で、ロト6は第588回分まで発行されており、販売総額は毎回数十億円にのぼる。販売総額が第1回目からどのように推移したのか、次の観点から調べる。
  ・キャリーオーバー発生の有無によって次回の販売総額は増加するのか
  ・2011年4月4日(第543回)以降は、それまでの週1回の抽選から週2回に抽選頻度が増加したが、その影響はあるのか

最初の図は回別に販売総額をプロットしたグラフ、その下の図は「週2回抽選移行」/「キャリーオーバー」別に販売総額の平均をプロットしたグラフである。
ロト6 販売実績額

ロト6 平均販売実績額

これらのグラフから、キャリーオーバーが発生した次の回には、販売総額が3割弱増加することがわかる。一方、週2回制に移行したことにより販売総額がそれまでの6割強まで減少している。

おそらく、多くの人がひと月あたりのロト6購入予算を決めており、週2回制移行により購入頻度や一回あたりの購入口数を減らしたためと思われる。さらに、抽選回の週2回への移行は2011年4月4日からであり、これは東日本大震災のおよそ1ヶ月後である。この大震災の影響で販売総額が減少したことも考えられる。実際、移行時期と震災発生の1ヶ月の間に3回の抽選が行われており、その期間の販売総額は震災前と比べると1割程度減少している。しかし、その減少幅は週2回制移行後の減少幅(3割弱)と比べると小さいので、週2回制移行の方が影響がより大きいといえる。


■当せん等数の分布



ロト6の抽選は夢ロトくんと呼ばれる機械で行われるため、当せん数字(本数字+ボーナス数字)はランダムであるはずである。一方、購入者も各々自由に数字(申込数字)を選んでおり、かつ、購入者も非常に多い(週2回制移行前の販売口数は毎回20万口以上)ことから、その申込数字もバラバラ、すなわち、ランダムになっている可能性が高い。

もし、当せん数字、申込数字ともにランダムであれば、統計学的に各等数の当せん口数は、下表の確率から推定される口数に近くなるはずである。

ロト6の当せん確率
等数当せん条件当せん確率理論上の当せん金額
1等申込数字が本数字に6個全て一致1/6,096,454約1億円
2等申込数字6個のうち5個が本数字に一致し、
さらに申込数字の残り1個がボーナス数字に一致
6/6,096454約1,500万円
3等申込数字6個のうち5個が本数字に一致216/6,096,454約50万円
4等申込数字6個のうち4個が本数字に一致9,990/6,096,454約9,500円
5等申込数字6個のうち3個が本数字に一致155,400/6,096,454(原則固定)1,000円


では、実際の当せん口数と理論上の確率から予想される当せん口数を比較してみる。下図は、1等から5等まで、各回の販売総額とその当せん口数の関係(青い点)を示したグラフである。黒い線は理論上の確率から予想される当せん口数である。ただし、第230回では1等が167口もあり、これを表示しようとすると縦軸の表示範囲が広くなりすぎるため、これだけはプロットしていない。

これらのグラフから、各当せん口数はその理論上の口数とはぴったり同じではないがそのまわりに分布していることがわかる。しかし、全体的にそのバラツキが大きいため、これらの結果は、購入者が申込数字をランダムに選択してない可能性(後述)を示唆している。
ロト6 販売実績額と1等口数

ロト6 販売実績額と2等口数

ロト6 販売実績額と3等口数

ロト6 販売実績額と4等口数

ロト6 販売実績額と5等口数



話はそれるが、上の当せん確率一覧表では確率のイメージが湧きにくいので、参考までに、よりイメージし易い表を作成した(下表)。下表の列「当せん確率1」~「当せん確率4」の値は全て同じであるが表現方法だけを変えている。「当せん確率3」は上表の確率と同じ、「当せん確率1」は「当せん確率3」を約分したもの、「当せん確率2」は当せん確率の小数表記、「当せん確率4」は「当せん確率3」の分子が1となるように分母を決めたもの。「当せん確率4」の意味は、何口に一口の割合で当せんするかである。たとえば、4等は610口に一口の割合で当せんすることがわかる。
また、この表には、ロト6には存在しない6等~8等の仮想的な当せん確率も載せている。仮想当せん条件は下表の「当せん条件」の通り。これを見ると、申込数字が全部一致しない(8等)よりも、1個だけ一致する場合(7等)の方がが確率が高いことがわかる。

ロト6の当せん確率
等数当せん条件当せん確率1当せん確率2当せん確率3当せん確率4
1等6個のうち6個が一致$$\frac{1}{6,096,454}$$0.000000164$$\frac{1}{6,096,454}$$$$\frac{1}{6,096,454}$$
2等6個のうち5個が一致
+ボーナス数字に一致
$$\frac{3}{3,048,227}$$0.000000984$$\frac{6}{6,096,454}$$$$\frac{1}{1,016,076}$$
3等6個のうち5個が一致$$\frac{111}{3,048,227}$$0.0000364$$\frac{222}{6,096,454}$$$$\frac{1}{27,462}$$
4等6個のうち4個が一致$$\frac{4,995}{3,048,227}$$0.00164$$\frac{9,990}{6,096,454}$$$$\frac{1}{610}$$
5等6個のうち3個が一致$$\frac{11,100}{435,461}$$0.0255$$\frac{155,400}{6,096,454}$$$$\frac{1}{39.23}$$
6等(仮想)6個のうち2個が一致$$\frac{141,525}{870,922}$$0.163$$\frac{990,675}{6,096,454}$$$$\frac{1}{6.15}$$
7等(仮想)6個のうち1個が一致$$\frac{186,813}{435,461}$$0.429$$\frac{2,615,382}{6,096,454}$$$$\frac{1}{2.33}$$
8等(仮想)6個のうち0個が一致$$\frac{166,056}{435,461}$$0.381$$\frac{2,324,784}{6,096,454}$$$$\frac{1}{2.62}$$



■実際の当せん口数の分布と理論的に予想される当せん口数の分布の比較



前述した通り、購入者は申込数字をランダムに選んでいない可能性がある。では逆に、もし申込数字がランダムに選択されていると仮定すると、当せん口数の分布がどのようになるのかコンピュータ・シミュレーションで調べてみる。実際には、シミュレーションを行わなくても統計学の理論から当せん口数の分布を求めることができる(後述の図参照)が。

シミュレーションの方法は次の通り。
  ・当せん数字には、第1回~第588回までの実際の数字を用いる。
  ・各回の購入口数には、実際の総口数(各回の販売総額から求められる)を用いる。
  ・乱数を用いて、各回の申込数字をランダムに購入口数組生成する。
  ・申込数字と当せん数字を各回ごとに突き合わせて、各等数の当せん口数を求める。

シミュレーションの結果を下図に示す。ここで、
  ・青い点:実際の当せん口数
  ・ピンク色の点:シミュレーションによる当せん口数
  ・黒い線:理論上の確率から予想される当せん口数
  ・水色の線:統計学の理論から予想される当せん口数の範囲の下限(95%信頼区間の下限)
  ・オレンジの線:統計学の理論から予想される当せん口数の範囲の上限(95%信頼区間の上限)

これらの図から明らかなように、コンピュータ・シミュレーションでランダムな申込数字を生成した場合には、各等数の当せん口数は統計学の理論から予想される当せん口数の範囲(95%信頼区間の上限と下限の間)に収まっていることがわかる。逆に言えば、実際の申込数字(青い点)はランダムに選ばれていない可能性が高いということである。
ロト6 販売実績額と1等口数

ロト6 販売実績額と2等口数

ロト6 販売実績額と3等口数

ロト6 販売実績額と4等口数

ロト6 販売実績額と5等口数



■実際の当せん確率と理論当せん確率等の比較



理論から予想される当せん確率を、実際の平均当せん確率、コンピュータ・シミュレーションの結果から求めた平均当せん確率、申込数字に連続数字を含むシミュレーションの結果から求めた平均当せん確率と比較する。

ここで、申込数字に連続数字を含むシミュレーションとは、連続した数字(5と6、18と19など)が申込数字に最低一組は含まれるという条件の下で行ったコンピュータ・シミュレーションのことである(パート2:本数字等の出現確率で述べるが、連続数字が出る確率は50%以上である)。
また、平均当せん確率とは、当せん等数ごとに588回分の当せん口数の合計をその間の総販売実績口数で割って求めた確率である。

下図は上記4種類の平均当せん確率を比較したグラフである。上のグラフの縦軸は平均当せん確率、下のグラフでは縦軸を当せん確率を口数で表現している。

ある等数が出る確率に関しては、実際の確率と理論的確率の間でほとんど差がないことがわかる。同様に、シミュレーション結果から求めた確率も理論確率とほぼ同じであり、シミュレーションの方法が妥当であることを示唆している。

もし、ロト6に必勝法があり、かつ、それを利用して儲けている人がいるのであれば、実際の当せん確率は理論確率より大きくなるはずである。しかし上図の結果を見るかぎり、それらの当せん確率に差がないため、必勝法は存在しない、または万が一存在したとしてもそれを使って儲けているはいない、と言える。
ロト6 各等数の平均当せん確率

ロト6 各等数の平均当せん確率(6百万口中)



ちなみに、上述の「申込数字に連続数字を含むシミュレーション」の結果から求めた当せん口数(オレンジ色の点)の分布は下図の通りである。
図を見ると、シミュレーションの当せん口数が理論当せん口数より多い場合もあれば、少ない場合もあることがわかる。当せん数字に連続した数字が含まれていれば当せんする確率が高くなり、逆に含まれていなければ確率が低くなるからである。とくに後者の場合には、1等の当せん口数は0となる。このようにシミュレーションによる確率に大きなバラツキはあるが、平均当せん確率を求めてみると理論当せん確率とほとんど変わらない結果が得られる。
ロト6 販売実績額と1等口数

ロト6 販売実績額と2等口数

ロト6 販売実績額と3等口数

ロト6 販売実績額と4等口数

ロト6 販売実績額と5等口数




■ロト6の購入者が選びやすい数字はあるのか?




前述したようにロト6の購入者は申込数字をランダムに選んでいない可能性がある。実際に購入者が選びやすい数字はあるのか調べてみた。

最初の例として、オーストラリアのPowerballでは、どの数字がよく選ばれるのかを調べた研究[Tijms, 2007]を紹介する。まず、このPowerballは、ロト6のルールによく似たギャンブルで、その購入者は、45個の数字から5つ、Powerball数字としてさらに1つ数字の合計6つの数字を選んで申し込む。一致する数字の数によって等数が決まる。

この研究では、1996年に申し込まれた10万枚のPowerballチケットに書かれていた数字が集計された(下図)。最初の図は選ばれた頻度が多い順に並べたグラフ、次の図は数字順に並べたグラフである。

これらの図から、各数字は均等ではなく偏って選ばれていることがわかる。特に小さい数字がより多く選ばれる傾向にある。たとえば、1~12の頻度が特に高く、次に31までの数字の頻度が高い。この結果から、購入者は誕生日などの日付を申込数字として用いている可能性が示唆される。なぜなら、1~12までの数字は月及び日にちとして用いられ、31までの数字は日にちとして用いられるから。
ロト6 Powerball lottery での申込数字の頻度

ロト6 Powerball lottery での申込数字の頻度


次の例は、WEBサイトロト予想バトルロト6予想バトル参加者予想数字登録率ランキングに登録された、ロト6の数字の予想である。このページでは、ロト6予想バトル参加者が過去に登録した数字データを元に集計し、各数字がどれだけ登録されているのかランキング形式で見ることができる。

ここでは全ての回で選ばれた数字の集計値を見ることにより、参加者が選んだ数字に偏りがあるのか調べた(下図)。

オーストラリアのPowerball程ではないが、日本でも選ばれる数字に偏りがあることがわかる。投票によって選ばれた予想数字ではなく、実際のロト6で申し込まれた数字に関する調査研究があればよいが、どうも無いようである。上述したように各等数の当せん口数の分布が理論口数の分布と異なっていることから、おそらく、実際の申込数字には何らかの偏りがあると推察される。
ロト6予想バトル参加者予想数字登録率ランキングでの予想数字の頻度

ロト6予想バトル参加者予想数字登録率ランキングでの予想数字の頻度
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テーマ : ロト6
ジャンル : ギャンブル

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